Улучшенная формула многочлена Лагранжа является модификацией формулы многочлена Лагранжа, а также позволяет вывести барицентрическую формулу.
Вспомним формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:
$$P(x) = \sum_{i=0}^n{y_i l_i(x)}$$$l_i(x) = \prod_{j \ne i}{\frac{x-x_j}{x_i-x_j}}$ — базисный многочлен.
Введём
$$l(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$$и определим барицентрические веса как
$$w_i = \frac{1}{\prod_{j \ne i}{(x_i-x_j)}}$$Заметим, что $w_i = 1/l'(x_i)$.
Тогда базисный многочлен можно представить в таком виде:
$$l_i(x) = l(x)\frac{w_i}{x-x_i}$$После подстановки в изначальную формулу, можно вынести $l(x)$ так:
$$\boxed{P(x) = l(x) \sum_{i=0}^n{\frac{w_i}{x-x_i} y_i}}$$Это и есть улучшенная формула многочлена Лагранжа.
Ссылки #
- Jean-Paul Berrut and Lloyd N. Trefethen, Barycentric Lagrange Interpolation, SIAM Review, Vol. 46, No. 3, pp. 501–517, 2004.