Периодический кубический сплайн - это сплайн, первая и вторая производные которого равна на концах.
Условия: $S_1'(x_1) = S_{n-1}'(x_n), \ S_1''(x_1) = S_{n-1}''(x_n)$.
Из них получаются следующие выражения для коэффициентов:
- $b_{n-1} + 2c_{n-1}h_{n-1} + 3d_{n-1}h_{n-1}^2 = b_1$
- $c_{n-1} + 3d_{n-1}h_{n-1} = c_1$
С помощью некоторых манипуляций можно получить матрицу
$$ \begin{bmatrix} 2h_1 + 2h_2 & h_2 & 0 & 0 & \dots & 0 & h_1 \\ h_2 & 2h_2 + 2h_3 & h_3 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & h_3 & 2h_3 + 2h_4 & h_4 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & h_{n-3} & 2h_{n-3} + 2h_{n-2} & h_{n-2} & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & h_{n-2} & 2h_{n-2} + 2h_{n-1} & h_{n-1} \\ h_1 & 0 & \dots & 0 & 0 & h_{n-1} & 2h_{n-1} + 2h_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ \vdots \\ c_{n-2} \\ c_{n-1} \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \\ \vdots \\ R_{n-3} \\ R_{n-2} \\ R_{n-1} \end{bmatrix} $$, где $c_n = c_1$, $R_k = 3\left(\frac{\delta_{k+1}}{h_{k+1}} - \frac{\delta_k}{h_k}\right)$, $R_{n-1} = 3\left(\frac{\delta_1}{h_1} - \frac{\delta_{n-1}}{h_{n-1}}\right)$.
Это не тридиагональная матрица, поэтому её нельзя решить с помощью
метода прогонки.
Но её можно решить модифицированным методом.
После нахождения коэффициентов $c_k$ остальные коэффициенты $b_k$ и $d_k$ можно вычислить по формулам (6) и (5) соответственно.